Питер Делос (Peter Delos), Боб Бротон (Bob Broughton), Джон Крафт (Jon Kraft)
Диаграммы направленности фазированной антенной решетки Часть 1: Характеристики луча
и множитель линейной решетки
Статья опубликована в журнале "Компоненты и технологии " №9 2020
Введение
Широкое распространение фазированных антенных решеток в коммерческих, аэрокосмических и оборонных приложениях приводит к тому, что работу с данными конструкциями доверяют инженерам, которые лишь поверхностно знакомы с принципом работы данных устройств. Термин «фазированная антенная решетка», как и сама конструкция, далеко не новы, их теоретическая часть разрабатывалась на протяжении нескольких десятилетий, однако большинство существующих публикаций ориентировано преимущественно на специалистов,
хорошо разбирающихся в математическом анализе и электромагнитных полях. В связи с тем, что фазированные антенные решетки все чаще используются в системах по работе со смешанными сигналами, многим разработчикам пригодилось бы простое объяснение понятий и принципов построения их диаграмм направленности. Как оказалось, существует достаточно много аналогий между поведением фазированных антенных решеток и системами с временной дискретизацией, с которыми инженеры, работающие в области смешанных сигналов, встречаются практически каждый день. Данная статья не предназначена для инженеров‑проектировщиков антенн, ее цель скорее помочь разработчикам, работающим с подсистемами или компонентами, используемыми в фазированных решетках. Статья поможет в некоторой степени визуализировать принципы, определяющие, как-то или иное действие инженера может повлиять на диаграмму направленности фазированной антенной решетки.

Направление луча
Для начала рассмотрим интуитивно понятный пример управления лучом фазированной решетки. На рис. 1 представлено падение волнового фронта на четыре антенных элемента с двух разных направлений. В приемном тракте после получения сигнала с каждого антенного элемента включается временная задержка, после чего все четыре сигнала суммируются. На рис. 1а временная задержка соответствует разнице по времени достижения волнового фронта каждого антенного элемента. Включение задержки приводит к тому, что четыре сигнала оказываются синхронизированными по фазе, и результирующий сигнал на выходе сумматора возрастает. На рис. 1б применяется тот же принцип и величина временной задержки, однако в этом случае волновой фронт перпендикулярен элементам антенны и сигналы с элементов оказываются смещены по фазе, что приводит к уменьшению уровня результирующего сигнала на выходе сумматора.
Рис. 1. Значение угла луча при установке временной задержки:
а) временная задержка соответствует разнице по времени достижения волнового фронта каждого антенного элемента;
б) при тех же условиях волновой фронт перпендикулярен элементам антенны и сигналы с элементов смещены по фазе
В фазированных решетках в качестве временной задержки выступает некая измеряемая величина, зависящая от расстояния между элементами и угла луча. Однако данную задержку можно сымитировать при помощи фазового сдвига сигнала, что является довольно полезным решением, когда речь заходит о практическом применении. Влияние задержки и фазового сдвига на положение луча будет рассмотрено далее, а пока обратим внимание на способы реализации самого фазового сдвига, а затем выведем формулу, которая бы показала его влияние на параметры луча.
На рис. 2 представлена схема фазированной антенной решетки с использованием сдвига фаз для управления лучом вместо временной задержки. Ось визирования (θ = 0°) направлена перпендикулярно лицевой стороне антенны, таким образом угол θ принимает положительное значение справа от оси визирования и отрицательное — слева.

Рис. 2. Принцип работы фазированной решетки с использованием сдвига фаз
вместо временных задержек
Для того чтобы упростить понимание и визуализировать величину фазового сдвига между соседними элементами решетки, используем набор прямоугольных треугольников, как это показано на рис. 3. Фазовый сдвиг между соседними элементами обозначен на рисунке как ΔΦ.
Рис. 3. Расчет фазового сдвига ΔΦ в зависимости от угла поворота луча:
а) взаимосвязь соседних элементов антенны с точки зрения геометрии;
б, в) сумма углов θ+j = 90°, что позволяет нам вычислить величину L — расстояние,
на которое происходит распространение волны
На рис. 3a определена взаимосвязь соседних элементов антенны с точки зрения геометрии. Каждый элемент отделен от соседнего расстоянием, обозначенным на схеме литерой d, его также называют шагом антенной решетки. Луч отклонен от оси визирования на угол θ или на угол j, если считать отклонение от условной горизонтальной линии. Из рис. 3б мы видим, что сумма углов θ+j = 90°. Данное соотношение позволяет нам вычислить величину L — расстояние, на которое происходит распространение волны, как L = dsin (θ). Временная задержка в таком случае будет равна времени, которое потребуется волновому фронту для преодоления расстояния L. Если мы примем величину L за длину волны, что подходит по определению, то временную задержку можно будет вычислить по формуле ∆t = L/c, где c = 3×10 ⁸ м/с, величина фазового сдвига в таком случае определяется в соответствии с принципом рис. 3в:
ΔΦ = (2πdsinθ)/λ.

Если шаг антенной решетки составляет ровно половину длины волны сигнала, то уравнение определения фазового сдвига можно упростить до вида:
ΔΦ = πsinθ, при d = λ/2. (2)

В качестве примера, используем данные уравнения для расчета фазового сдвига для решетки из двух элементов, расположенных на расстоянии 15 мм друг от друга. Если волновой фронт с частотой 10,6 ГГц падает под углом 30° (θ = 30° = 0,52 рад) от оси визирования, то оптимальное значение фазового сдвига будет определяться как:
λ = c/f = (3×108 м/с)/10,6 ГГц = 0,0283 м,
∆Φ = (2πdsinθ)/λ = 2π х 0,015 х sin (0,52)/0,0283 м = 1,67 рад = 95°.


Таким образом, если волновой фронт падает под углом θ = 30°, то при сдвиге фазы соседнего элемента на 95° мы можем добиться того, что сигналы с элементов системы будут складываться когерентно, что максимизирует усиление антенны в данном конкретном направлении.
Рис. 4. Фазовый сдвиг ΔΦ в зависимости от угла отклонения луча (θ) для трех случаев соотношения d/λ
Для лучшего понимания зависимости фазового сдвига от положения луча на рис. 4 приведены графики, построенные на основе формулы (1) при различных соотношениях d/λ. В том случае, когда d = λ/2, вблизи оси визирования график имеет наклон 3:1, что обусловлено множителем π, как это показано в формуле (2). Данный график также демонстрирует, что фазовый сдвиг между элементами величиной 180° обеспечивает теоретическое отклонение луча от оси визирования на 90°. Это идеальный случай, и на практике осуществить такое отклонение невозможно. Также следует обратить внимание, что при d > λ/2, вне зависимости от величины фазового сдвига, отклонение луча на 90° никогда не будет достигнуто. Далее в статье мы увидим, что при d > λ/2 на диаграмме направленности антенны появляются нежелательные лепестки, но уже сейчас становится понятно, что со случаем, когда d > λ/2, происходит что-то не то.

Эквидистантная линейная антенная решетка
Приведенные выше уравнения ориентированы на применение для систем с двумя элементами. Однако на практике фазированная антенная решетка может состоять из тысяч элементов, расположенных в нескольких плоскостях. Для упрощения расчетов будем рассматривать только решетки с расположением элементов в одной плоскости, то есть линейные антенные решетки.
Линейная антенная решетка представляет собой решетку, состоящую из N элементов. Расстояние между элементами может иметь различное значение, но чаще всего на практике используются эквидистантные антенные решетки, то есть решетки с равным расстоянием между элементами (рис. 5).
Рис. 5. Эквидистантная линейная антенная решетка (N = 4)
Несмотря на довольно простую структуру, данный тип решетки обеспечивает прекрасную основу для понимания процесса формирования диаграммы направленности антенны в зависимости от различных условий. Кроме того, принципы, служащие основой для построения диаграммы при использовании линейной антенной решетки, также могут быть применимы и для систем с двупространственным распределением элементов.

Противостояние ближнего и дальнего поля
Итак, как же мы можем использовать ранее созданные уравнения для N = 2 элементов в случае, когда антенная решетка состоит из N = 10 000? Если посмотреть на рис. 6, то станет понятно, что угол падения фронта сигнала на каждый следующий элемент отличается от предыдущего.
Рис. 6. Источник РЧ-сигнала, расположенный рядом с линейной антенной решеткой
Когда источник сигнала находится рядом с решеткой, угол падения сигнала отличается для каждого элемента. В таких случаях говорят, что источник сигнала находится в ближнем поле, или ближней зоне антенны. Мы, конечно, можем рассчитать угол падения для каждого элемента отдельно, и иногда это необходимо сделать, например, если требуется глубокая калибровка антенны или расположение источника невозможно изменить, но куда более простым вариантом является расположение источника сигнала в дальнем поле антенны (рис. 7).
Рис. 7. Источник РЧ-сигнала расположен вдали от линейной антенной решетки
При расположении источника сигнала в дальнем поле большой радиус сферического волнового фронта приводит к тому, что линии распространения волн сигнала на подступах к антенной решетке оказываются параллельны. Как следствие, углы отклонения луча будут равны, и каждый соседний элемент будет иметь длину пути, которую необходимо преодолеть фронту сигнала на dsinθ больше, чем у его соседа. Данный вывод значительно упрощает расчеты и означает, что выведенные ранее уравнения (1) и (2) могут быть применены для расчета линейных решеток с несколькими тысячами элементов при условии, что они имеют одинаковый шаг.
Но как вычислить, где начинается дальнее поле? Начало дальнего поля можно условно принять за величину, определяемую по формуле:
Дальнее поле >2D²/λ, (3)

где D — диаметр антенны ((N-1) х d для эквидистантной линейной решетки).
Для линейных решеток с небольшим количеством компонентов (небольшое значение D) или при работе с низкочастотными сигналами (большая λ) расстояние до дальнего поля имеет небольшую величину, однако если количество элементов в решетке составляет несколько тысяч, а сама система работает исключительно на высоких частотах, расстояние до начала дальнего поля может измеряться десятками, а то и сотнями километров. Столь большое расстояние значительно затрудняет тестирование и калибровку системы. В таких случаях рекомендуется выполнить более подробный расчет и построение модели при расположении источника сигнала в ближнем поле, а затем скорректировать их при построении решения для использования в реальных условиях, в том числе с расположением источника в дальнем поле.

Усиление, направленность и апертура антенны
Прежде чем мы перейдем к расчету и построению диаграмм, не лишним будет определить усиление, направленность и апертуру антенны. Начнем с небольшого пояснения относительно усиления и направленности антенны, поскольку их часто меняют местами из-за сходных формул расчета. Данные величины определяются путем сравнения с показателями изотропной антенны — идеальной антенны, которая излучает равномерно во всех направлениях. Направленность антенны — это сравнение максимальной измеренной мощности Pmax в определенном направлении со средней мощностью, излучаемой во всех направлениях, Pav. Когда направление не определено, направленность вычисляется по формуле:
D = Pmax/Pav. (4)

Направленность — это важная характеристика, используемая при сравнении антенн, поскольку именно она определяет способность фокусировать энергию в одном направлении.
Усиление рассчитывается по той же формуле, однако помимо максимальной измеренной мощности Pmax и мощности, излучаемой во всех направлениях, Pav в нее также добавляется коэффициент потерь:
G = kD, (5)

где k = Prad/Pin, Prad — это общая излучаемая мощность, Pin — входная мощность антенны, k — коэффициент потерь.
Перенесем диаграмму направленности антенны в трехмерную плоскость и рассмотрим направленность антенны как функцию ширины луча (рис. 8).
Рис. 8. Диаграмма направленности антенны, спроецированная на сферу
Общая площадь поверхности сферы равна 4π2, поверхность сферы, наблюдаемая из ее центра, образует телесный угол 4π стерадиан. Следовательно, плотность мощности изотропной антенны будет равна (Вт/м2):
Prad/4πr2. (6)
Существует два угла направления (или угла положения) для площади сферы. В радиолокационных системах их обычно называют азимутом и углом места. Ширина луча может быть описана как функция углов направления θ1 и θ2, которые создают на сфере область ΩA — ширину луча в стерадианах. Значение ΩA можно аппроксимировать как ΩA ≈ θ1 х θ2.
С учетом определения ΩA как области на сфере, организованной углами направления, направленность антенны можно определить по формуле:
D = 4π/ΩA ≈ 4π/θ1 х θ2. (7)

Третья характеристика антенны, которая также заслуживает внимания — это апертура. Апертура антенны — это часть площади сферы для приема электромагнитных волн. Размер данной площади зависит от длины волны. Апертура изотропной антенны определяется по формуле:
Aisotropic = λ2/4π. (8)

Эффективная (реальная) апертура антенны будет завесить также от уровня ее усиления и определяться по формуле:
Ae = Gλ2/4π. (9)

Собрав все части вместе, мы увидим, что усиление антенны можно рассматривать как функцию угла, который определяет диаграмму направленности и учитывает эффективность (или потери) в антенне.
Рис. 9. Множитель элемента и массива решетки
Множитель линейной решетки
В данном разделе мы попробуем определить оптимальную временную задержку (или разность фаз) между элементами решетки для достижения максимальной направленности антенны. Но сначала желательно получить определение полного усиления антенны и понять принципы управления им. Для получения полного усиления нам необходимо обратить внимание на два параметра: коэффициент усиления каждого отдельного элемента решетки, также называемого множителем элемента (Ge), и влияние, которое мы можем оказать посредством формирования луча при помощи элементов решетки, называемого также множителем массива элементов, или множителем решетки (Ga). В таком случае полное усиление антенной решетки будет определяться о формуле (в дБ):
G (θ) = Ge (θ)+Ga (θ). (10)

Множитель элемента Ge — это, по сути, диаграмма направленности одного элемента в решетке. Данный множитель определяется геометрией и конструкцией антенны и не зависит от условий эксплуатации или электротехнических характеристик. Множитель важно принимать во внимание, так как он способен ограничить усиление всей решетки. Поскольку мы не можем воздействовать на множитель элемента посредством изменения электрических величин, примем его как некую константу, которая, тем не менее, оказывает непосредственное влияние на величину полного усиления фазированной решетки. В статье мы предполагаем, что все отдельные элементы решетки имеют одинаковый множитель.
Другой важный параметр — множитель решетки Ga, который рассчитывается на основе геометрии решетки (d для эквидистантной линейной решетки) и «веса» луча (амплитуда и фаза). Вывод формулы множителя решетки, а также их вариаций для линейной антенной решетки не является сложной задачей, однако во избежание перегрузки статьи читателю
лучше обратиться за подробностями к публикациям, указанным в списке литературы. Для дальнейшего расчета мы будем ориентироваться на уравнения, выведенные в статье ранее, что приведет к лучшей согласованности с нашими определениями, приведенными на рис. 2 и 3.
Так как основная проблема состоит в определении изменения усиления решетки, наиболее оптимальным вариантом будет построить график зависимости нормализованного множителя от единичного усиления. Нормализованный множитель решетки в свою очередь можно представить в виде следующей формулы:
где θ — угол луча.
Ранее мы уже определяли угол луча θ0 как функцию фазового сдвига между элементами, следовательно, мы также можем представить формулу нормализованного множителя решетки как:
Для того чтобы приведенное выше уравнение могло быть применимо к существующей системе, необходимо соблюсти следующие условия:
• элементы решетки расположены на одинаковом расстоянии;
• между элементами имеется равный фазовый сдвиг;
• все элементы имеют одинаковую амплитуду.
Используя полученные уравнения, построим график множителя решетки для нескольких размеров решетки (рис. 10, 11).
Рис. 10. График функции нормализованного множителя линейной решетки с шагом элементов d = λ/2 и количеством элементов 8, 16 и 32 соответственно
Рис. 11. График функции нормализованного множителя линейной решетки с шагом элементов d = λ/2 и количеством элементов 32 при разных углах луча
Проанализировав рис. 11 и 12, можно сделать следующие выводы:
• Амплитуда первого бокового лепестка от оси визирования составляет -13 дБ независимо от количества элементов. Это связано с функцией sin в уравнении множителя решетки. Амплитуда данных лепестков может быть увеличена за счет постепенного увеличения коэффициента усиления по элементам.
• Ширина луча уменьшается с увеличением количества элементов решетки.
• Ширина луча увеличивается по мере того, как луч отклоняется от оси визирования.
• Количество лучей увеличивается по мере увеличения количества элементов.
Рис. 12. Определение ширины луча антенны (линейная решетка N = 8, d = λ/2, θ = 30°)
Ширина луча
Ширина луча представляет собой показатель углового разрешения антенн. Чаще всего ширина луча определяется либо шириной луча половинной мощности (HPBW), либо шириной первого нулевого луча (FNBW). Для того чтобы определить HPBW, необходимо измерить величину угла на уровне ниже на 3 дБ от пика, как показано на рис. 12.
Используя приведенное выше уравнение нормализованного множителя решетки, вычислим точное значение HPBW, установив нормализированный множитель равным уровню половинной мощности (3 дБ или 1/√2).
Предположим, что θ = 0°, N = 8 и d = λ/2, тогда:
Вывод из уравнения ∆Φ дает 0,35 рад. Подставив данное значение в уравнение (1), можно определить угол θ:
В данном случае θ — это пиковое значение до точки 3 дБ, что составляет половину HPBW. Для того чтобы получить окончательное значе ние HPBW, просто удвоим его. Это дает нам HPBW величиной 12,8°.
Если повторить тот же прием для множителя решетки, равного 0, мы получим ширину первого нулевого луча FNBW = 28,5°.
Для эквидистантных линейных антенных решеток аппроксимация HPBW [1, 2] задается следующей формулой:
На рис. 13 показана зависимость ширины луча от угла отклонения для решеток с разной размерностью при расстоянии между элементами, равном λ/2.
Рис. 13. Зависимость ширины луча от угла отклонения при расстоянии между элементами λ/2 и количестве элементов 16, 32 и 100 соответственно
Проанализировав график, можно отметить некоторые аспекты, касающиеся размерности решеток:
• Для точности управления лучом в 1° требуется минимум 100 элементов. Если точность важна как по азимуту, так и по углу места, решетка должна состоять из 10 000 элементов. Точность 1° достигается только по оси визирования в условиях, близких к идеальным. Поддержание точности в 1° при работе в полевых условиях потребует еще большего увеличения количества элементов решетки.
• Решетки из 1000 элементов имеют достаточно широкое распространение. Примером таких решеток служат решетки квадратной формы со стороной, состоящей из 32 элементов, что в сумме дает 1024 элемента. Такие решетки могут обеспечить точность управления лучом на уровне 4° вблизи оси визирования.
• Решетки из 256 элементов серийного производства, которые имеют относительно невысокую цену, могут иметь точность наведения луча менее 10°, что вполне приемлемо для широкого спектра приложений.
• Также следует обратить внимание на тот факт, что для любого из описанных случаев ширина луча удваивается при смещении на 60°. Это связано с cosθ в знаменателе и углом падения фронта сигнала на элементы; размер решетки кажется меньшим в поперечном сечении, если смотреть на него под углом.

Объединение множителей элемента и решетки
В предыдущем разделе основное внимание было уделено только множителю решетки. Но чтобы вычислить общее усиление антенны, нам также потребуется и множитель элемента. На рис. 14 показан пример, в котором множитель элемента, или нормализованное усиление элемента Ge (θ), принимает форму косинуса. График спада косинуса довольно часто встречается при анализе фазированных решеток и может быть достаточно просто визуализирован. У оси визирования график имеет максимальную площадь и по мере
удаления от нее уменьшается в соответствии с функцией косинуса.
Рис. 14. Множитель элемента и множитель решетки образуют общую диаграмму направленности антенны
Множитель решетки GA (θ) был взят для линейной решетки из 16 элементов с шагом λ/2 и однородной диаграммой направленности. Общий график, обозначенный на рисунке синим цветом, представляет собой график функции, полученной в результате перемножения множителя элемента и множителя решетки, то есть сложения в графиков в шкале дБ.
Проанализировав график и отклонение луча от оси визирования можно сделать следующие выводы:
• амплитуда общего графика уменьшается в соответствии с графиком множителя элемента;
• лепестки, расположенные по бокам оси визирования, не теряют амплитуду;
• характеристики боковых лепестков элементов решетки ухудшаются за пределами оси визирования.

Декартова и полярная системы координат
До сих пор мы строили диаграммы направленности антенн в декартовой системе координат. Но более распространенным решением является построение диаграмм в полярных координатах, поскольку они более репрезентативны с точки зрения энергии, излучаемой антенной в пространство. Рис. 15 — это переориентированная в полярную систему координат версия рис. 12, данные и значения на этих рисунках полностью совпадают. Следует иметь возможность и умение построить диаграмму направленности для антенны в любом представлении, поскольку оба они используются в литературе и специальной документации. Для данной и последующих статей серии мы будем использовать преимущественно декартову систему координат, поскольку в этом представлении проще сравнивать ширину луча и характеристики боковых лепестков диаграммы.
Рис. 15. Диаграмма направленности антенны в полярных координатах для N = 8, d = T/2, ∅ = 30°
Двунаправленность антенной решетки
В данной статье текст и графики приведены для антенных решеток, которые принимают cигнал. Но что изменится, если антенна будет настроена на передачу? К счастью, большинство антенных решеток являются двунаправленными и все диаграммы, уравнения и терминология одинаковы для передачи и приема. При построении диаграмм лучше ориентироваться по текущей ситуации — иногда легче представить луч, принимаемый антенной решеткой, а иногда, например, в случае изучения формы лепестков, может оказаться проще думать, что антенная решетка работает в передающем режиме.

Заключение

Статья является первой частью серии, в ней была описана концепция и основные принципы управления лучом с помощью фазированной решетки, выведены основополагающие формулы и построены графики на их основе. Кроме того, в статье были рассмотрены множитель решетки, множитель элемента и сделаны выводы о том, как количество элементов, расстояние между ними и угол луча влияют на работу антенны. Последним пунктом статьи было сравнение диаграмм направленности антенн в декартовых и полярных координатах.
В следующих публикациях серии будут более подробно рассмотрены диаграммы направленности фазированных антенных решеток и их искажения. Мы изучим, как изменение
формы антенны влияет на боковые лепестки, как формируются лепестки решетки, как влияет сдвиг фазы на временную задержку в широкополосных системах. Серия завершится анализом разрешения блока задержки и того, как он может создавать боковые лепестки квантования и ухудшать разрешение луча.

Литература
1. Balanis C. A. Antenna Theory: Analysis and Design. 3rd Edition. Wiley, 2005.
2. Mailloux R. J. Phased Array Antenna Handbook. 2rd Edition. Artech House, 2005.
3. O’Donnell R. M. Radar Systems Engineering: Introduction. IEEE, June 2012.
4. Скольник (Skolnik), Меррилл (Merrill). Radar Handbook. 3rd Edition. McGraw-Hill, 2008.